next up previous contents
Next: 1.2.1.0.0.4 ラスト Up: 微積分の演習問題から Previous: 1.2.1.0.0.2 (1.6) の証明

1.2.1.0.0.3 (1.7) の証明
既に示したように $ f(x)>0$, $ f'(x)>0$ より

% latex2html id marker 6196 $\displaystyle \frac{f(x)}{f'(x)}>0\quad\therefore\quad x'=x-\frac{f(x)}{f'(x)}<x. $

さらに
  $\displaystyle x'-s$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x-\frac{f(x)}{f'(x)}-\left(s-\frac{f(s)}{f'(x)}\right)$   $\displaystyle \mbox{($\because f(s)=0$)}$
    $\displaystyle =$ $\displaystyle (x-s)-\frac{f(x)-f(s)}{f'(x)}$
    $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)(x-s)-(f(x)-f(s))}{f'(x)}$
    $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f(s)-\left[f(x)+f'(x)(s-x)\right]}{f'(x)}$
    $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f''(x+\theta(s-x)) (s-x)^2/2}{f'(x)},\quad \exists\theta\in(0,1)$   $\displaystyle \mbox{($\because$\ Taylor の定理)}$
    $\displaystyle >$ $\displaystyle 0. \qed$

next up previous contents
Next: 1.2.1.0.0.4 ラスト Up: 微積分の演習問題から Previous: 1.2.1.0.0.2 (1.6) の証明
Masashi Katsurada
平成21年7月9日