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1.2.1.0.0.4 ラスト
$ \{x_n\}_{n\in\N}$ は $ s$ を一つの 下界とする単調減少数列であるから、 収束する。その極限を $ x_\infty$ とすると、

$\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $

で $ n\to\infty$ として

$\displaystyle x_{\infty}=x_\infty-\frac{f(x_\infty)} {f'(x_\infty)}. $

これから $ f(x_\infty)=0$. 解の一意性から $ s=x_\infty$. すなわち

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=s.\qed $

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Masashi Katsurada
平成21年7月9日