3.1.0.1 Riemann による Laplace 方程式の Dirichle 境界値問題の議論のあらすじ

境界条件 $u=g_1$ (on $\rd\Omega$ ) を満たす $u$ のうちで

$$J[u]=\dint_\Omega\left(u_x^2+u_y^2\right)\DxDy$$   (この $J$ を Dirichlet 積分と呼ぶ)

を最小にするものは、 $\Laplacian u=0$ を満たす。実際、$v$ を $v=0$ (on $\rd\Omega$ ) を満たす任意の関数とするとき、

$$f(t):=J[u+t v]$$   ( $t\in\mathbb{R}$ )

は $t=0$ で最小となる (なぜならば $f(t)=J[u+t v]\ge J[u]=f(0)$ )。 ところで

$$f(t)=J[u]+2t\dint_\Omega\left(u_x v_x+u_y v_y\right)\DxDy +t^2\dint_\Omega\left(v_x^2+v_y^2\right)\DxDy$$

であるから、$f$ は2次関数であり、$t=0$ で最小となるためには

$$\dint_\Omega\left(u_x v_x+u_y v_y\right)\DxDy=0$$

が必要十分である。Green の積分公式³して

$$\dint_\Omega(u_{xx}+u_{vv})v\;\DxDy=0.$$

これが任意の $v$ について成り立つことから、 $\Laplacian u=u_{xx}+ u_{yy}=0$ .

以上の議論から、 $J[u]$ を最小にするような $u$ を見出せば問題が解決することが分かる。 $J$ は常に $J\ge 0$ を満たすので、$J$ が下に有界でありることは明らかで、 従って $J$ の下限が存在する。 (この下限は最小値であるから)、最小値を与える $u$ が存在する、と議論したのだが、 Weierstrass は「下限は最小値である」ことに疑義を示した (「数学解析」を学んだ人は、 いかにも Weierstrass がツッコミそうなところと思うかも)。 $\qedsymbol$

残念ながら若くして亡くなった Riemann は、 Weierstrass の批判に答えることが出来なかった。 この論法による完全な証明は、 約 50 年後 (1900年頃) の D. Hilbertまで持ち越された。 そのやり方は、Laplace 方程式以外の多くの微分方程式に対しても拡張され、 今では「弱解の方法」と呼ばれる。

本当は、Dirichlet の原理は、 C. F. Gauss (1777-1855) がルーツで、 物理学の世界ではすでに知られていた考え方で、 それを Riemann が純粋数学に応用した、という見方をする人もいる。

弱解の方法は、数値計算とも相性がよく、 そこに基礎を置く W. Ritz による Ritz の方法は 1909 年に発表され次第、 重要な地位を占めている。 この Ritz-Galerkin 法は有限要素法の基礎ともなっている。

(差分法の基礎を、 導関数の差分商への置き換え＋領域の格子への分割とまとめるのを真似ると、 有限要素法の基礎は、Ritz-Galerkin法＋領域の有限要素への分割、 とまとめるのが良いだろうか。)