3.2 1次元でイントロ

有限要素法を使うためには、最低限弱形式の導出が出来ないといけない。

簡単のため、まず1次元版で論じる (多次元でも本質的な違いはない)。

(P)

$$-u''(x)=f(x) x\in (0,1) ,$$ (23)

$$u(0)=\alpha,$$ (24)

$$u'(1)=\beta$$ (25)

上の境界値問題の解は、次の2つの問題 (W), (V) の解でもある。

まず弱形式 (weak from)、 あるいは弱定式化 (weak formulation) した問題 (W) を述べよう。

(W)

Find $u\in X_{g_1}$ s.t.

$$\int_0^1 u'(x)v'(x)\Dx=\int_0^1 f(x)v(x)\Dx+\beta v(1)$$   ($v\in X$ )$$.$$

ここで $X_{g_1}$ と $X$ は

$$X:=\left\{v\in H^1(0,1)\mid v(0)=0\right\}, \quad X_{g_1}:=\left\{v\in H^1(0,1)\mid v(0)=\alpha\right\}$$ (26)

で定義される。ただし $H^1(0,1)$ は $1$ 階のSobolev空間である。