3.2.0.1 (P) の解が (W) を満たすこと

$u$ が (P) を満たすとする。 任意の $v\in X$ を (23) にかけて、$[0,1]$ で積分し、 部分積分すると、

$$-\left[u'(x)v(x)\right]_0^1+\int_0^1 u'(x)v'(x)\;\Dx= \int_0^1 f(x)v(x)\;\Dx.$$

$X$ の定義から $v(0)=0$ , また (25) が成り立つので、

$$\left[u'(x)v(x)\right]_{0}^1=u'(1)v(1)-u'(0)v(0)=\beta v(1).$$

ゆえに

$$\int_0^1 u'(x)v'(x)\;\Dx=\int_0^1 f(x)v(x)\;\Dx+\beta v(1).$$

すなわち $u$ は問題 (W) の解である。 $\qedsymbol$

次に変分問題⁴(variational problem) にしたものを述べる。

(V)

Find $u\in X_{g_1}$ s.t.

$$J[u]=\min_{w\in X_{g_1}} J[w].$$

ただし

$$J[u]:=\frac{1}{2}\int_0^1 \left\vert u'(x)\right\vert^2\Dx- \int_0^1 f(x)v(x)\;\Dx-\beta v(1).$$

(W) と (V) は同値な問題であり、 常に一意的な解を持つことが比較的容易に分かる。

逆に $f$ がある程度滑らかであれば、 (W), (V) の解は (P) の解であることが示される。

問題 (V) の解 (それは (W) の解でもある) が$C^2$ 級であることを認めると、 (P), (W), (V) は互いに同値な問題ということになる。 (W) $\THEN$ (P) は、Dirichlet 原理の一般化である (Laplace 方程式のDirichlet境界値問題の場合、 この $J$ は Dirichlet 積分 (の$1/2$ 倍) に他ならない。)。

そこで問題 (P) を解く代わりに、(W) あるいは (V) を解くことを目指す。

通常、変分法は、変分問題を解くために、それと同値な微分方程式の問題を導き、 そちらを解くことで変分問題の解を得るのが普通であるが、 ここでは逆に微分方程式の問題を解くために、それを変分問題に書き換え、 それを直接解く、という手順の議論をしている。 これは、変分法の直接法と呼ばれるものになっている。

$\{x_i\}_{i=0}^N$ を

$$0=x_0<x_1<\cdots<x_N=1$$

を満たす数列として、

$$\widetilde X:=\left\{v\in C([0,1])\relmiddle\vert \text{$v$ は 小区間 $[x_i-1,x_i]$ では 1次多項式と一致}\right\},$$

$$\hat X:=\left\{v\in \widetilde X\relmiddle\vert v(0)=0\right\}, \quad \hat X_{g_1}:=\left\{v\in \widetilde X\relmiddle\vert v(0)=\alpha\right\}$$

とおくとき、 $X$ を $\hat X$ で、 $X_{g_1}$ を $\hat X_{g_1}$ で置き換えた問題を考える。 $\widetilde X$ の要素を区分1次多項式と呼ぶ。

次の2つの問題は同値であり、常に一意的な解 $\hat u$ を持つ。 それを近似解として採用する。

( $\widehat{\text{W}}$ )

Find $\hat u\in \hat X_{g_1}$ s.t.

$$\int_0^1 \hat u'(x)v'(x)\Dx=\int_0^1 f(x)v(x)\Dx+\beta v(1)$$   ( $v\in \hat X$ )$$.$$

( $\widehat{\text{V}}$ )

Find $\hat u\in \hat X_{g_1}$ s.t.

$$J[\hat u]=\min_{w\in \hat X_{g_1}} J[w].$$

$\phi_i$ を、 $\phi_i\in\widetilde X$ ,

$$\widetilde \phi_i(x_j)=\delta_{ij}$$

を満たすものとする (この条件で $\phi_i$ は一意的に定まる)。 任意の $\hat u\in X_{g_1}$ は、

$$\hat u(x)=\alpha\phi_0(x)+\sum_{i=1}^N a_i\phi_i(x)$$

の形に一意的に表現出来る。係数 $a_1,\cdots,a_N$ を定めれば良いが、 $u$ が (W) (あるいは (V)) を満たすことは、 $a_1,\dots,a_N$ がある連立1次方程式の解であることと同値であることが分かる。

実は $\{x_i\}$ が $[0,1]$ の$N$ 等分点であるとき、 有限要素解 $\hat u$ の $x_i$ での値は、差分解 $U_i$ と一致する。 もちろん、いつもそうなるわけではない (もしそうならば、2つの方法を考える意味がない)。

有限要素法には以下の利点がある。

• 弱形式の議論を済ませてあれば、有限要素解の厳密解への収束の議論は簡単になる。
• 多次元問題の場合に、長方形領域以外でも、それほど苦労なく解析が可能である。
• プログラムの自動生成がしやすい。