... を1次元的に並べて番号をつけた¹

$(i,j)\mapsto\ell$ の逆変換は、 $\ell$ を $N_x-1$ で割った余りと商を $i-1$ , $j-1$ とすれば良い。

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... の原理²

なんでも、 Dirihlet 先生の講義に出て来たのだとか。

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... の積分公式³

Greenの積分公式とは、 $\dsp\dint_\Omega\Laplacian u v\;\DxDy =\int_{\rd\Omega}\frac{\rd u}{\rd n}v\;\D\sigma -\dint_{\Omega}\nabla u\cdot\nabla v\;\DxDy$ と言うもの。 これは発散定理 $\dsp\int_\Omega\Div\bm{f}\;\DxDy= \int_{\rd\Omega}\bm{f}\cdot\bm{n}\;\D\sigma$ に、 $\bm{f}=v\nabla u$ を代入すれば得られる。 $\Div(v\nabla u)=\nabla u\cdot\nabla v+v\Laplacian u$ , $\nabla u\cdot \bm{n}=\frac{\rd u}{\rd n}$ であることに注意する。

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...次に変分問題⁴

変分法を知らない人のために説明: 汎函数(関数を変数 とする関数のこと) の最小値問題を変分問題と呼ぶ。ここでは、 $J\colon X_{g_1}\to\mathbb{R}$ が汎函数で、 $u$ は $J$ の最小値を与える点となっている。

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...写像関数と呼ぶ ⁵

関数論において等角写像とは、いたるところ $\varphi'\ne 0$ を 満たす正則関数のことを指す。一対一の等角写像 $\varphi\colon U\to\mathbb{C}$ があるとき、終域を $V:=\varphi(U)$ で置き換えた、 $\widetilde{\varphi}\colon z\mapsto \varphi(z)\in V$ は双正則である ( $\widetilde{\varphi}'(z)\ne 0$ が簡単に導かれる)。 しばしば、等角写像という言葉を、双正則な関数の意味に使うことがある。d

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... と呼ぶ⁶

その理由は、 $y_1$ , $\dots$ , $y_N$ それぞれに電荷量 $Q_1$ , $\dots$ , $Q_N$ の電荷を置いたとき、それら電荷の作る電場のポテンシャルが $u^{(N)}$ であ る、という事実に基づく。

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