5.1 序

微分方程式の解は関数であり、これは関数空間の要素としてとらえるのが (数学では)普通である。(大抵の場合、関数空間は無限次元空間で、問題を複 雑にしている。)

微分方程式は解析的^5.1に解けないことが多い。たとえ解けても便利でないことがある^5.2。

近似解法 -- 解の有限的な近似表現を求める。

• 有限次元の関数空間の要素で近似する、が基本。
• 特に連続変数を離散変数に置き換えて近似する離散変数法が有力。

残念ながら

常微分方程式の初期値問題に限っても万能の方法はない。

プロでない平均的ユーザーとしては、実際的にはとりあえず Runge-Kutta 法を使い、不満があれば他の方法を考える、くらいで良いだろう。

この講義では、基礎概念について簡単に紹介した後で、

1. 刻み幅の自動調節(adaptive stepsize control)
2. 硬い方程式(stiff problem)

などの進んだ話題についてコメントする。詳しいことを知りたい場合は、まず (後述する) 三井斌友「数値解析入門」などを見るとよい。