C..2.4 特性根が重根である場合

$y=x e^{\alpha x}$ とすると、

$$y' =e^{\alpha x}+\alpha x e^{\alpha x},$$

$$y'' = \alpha e^{\alpha x}+\alpha e^{\alpha x}+\alpha^2 x e^{\alpha x} =\alpha^2 x e^{\alpha x}+2\alpha e^{\alpha x}$$

であるから、

$$y''+p y'+q y=(\alpha^2 x+2\alpha+p\alpha x+p+q x)e^{\alpha x} =\left[(\alpha^2+p\alpha+q)x+(p+2\alpha)\right]e^{\alpha x}$$

となるが、$\alpha$ は $\lambda^2+p\lambda+q=0$ の重根であるから、

$$\alpha^2+p\alpha+q=0,$$

$$\alpha=\frac{-p+\sqrt{\mbox{判別式}}}{2} =\frac{-p+\sqrt{0}}{2} =-\frac{p}{2} \quad\mbox{ゆえに}\quad p+2\alpha=0$$

が成り立ち、

$$y''+p y'+q y=\left[0\cdot x+0\right]e^{\alpha x}=0.\qed$$

(a) は済んでいる。(b) については、次の二点を示せばよい。