C..2.4.1 [任意の解は $e^{\alpha x}$, $x e^{\alpha x}$ の$1$次結合で書ける]

$y$ が $y''+p y'+q y=0$ の解だとする。 $y=e^{\alpha x}u$ とおくと、

$$y'=\alpha e^{\alpha x}+e^{\alpha x}u'=e^{\alpha x}(u'+\alpha u),$$

$$y''=\alpha^2 e^{\alpha x}+\alpha e^{\alpha x}u'+e^{\alpha x}u'' =e^{\alpha x}(u''+\alpha u'+\alpha^2 u)$$

であるから

$$y''+p y'+q y =y''-2\alpha y'+\alpha^2 y =e^{\alpha x}(u''+\alpha u'+\alpha^2 u) -2\alpha e^{\alpha x}(u'+\alpha u) +\alpha^2 e^{\alpha x}u$$

$$=e^{\alpha x} u''.$$

$y''+p y'+q y=0$ であったから $e^{\alpha x}u''=0$. これから $u''=0$. ゆえに定数 $C_1$, $C_2$ が存在して $u=C_1+C_2 x$. ゆえに

$$y=e^{\alpha x}u=C_1 e^{\alpha x}+C_2 x e^{\alpha x}.$$