B..5 近似式

(1) をそのまま用いればよいと思うのだが、 多くの文献の解説で次の近似式が使われている。

$$\mathrm{Nap.Log} x\kinji -r\log(x/r)=r\log(r/x)=r\log_{1/e}(x/r).$$ (3)

これは (1) の分母のマクローリン展開

$$\log\left(1-\frac{1}{r}\right) =-\sum_{n=1}^\infty\frac{r^n}{n}=-r-\frac{r^2}{2}-\cdots$$

を第1項で近似しても得られるし、 Napier の「物理模型」を 微分方程式解釈しても得られるし⁹、 $(1-1/r)^r\kinji 1/e$ と近似したと考えても得られる (多くの人達が色々な説明を編み出しているが、 近似式は結局全部一致しているようである -- まあ自然な近似式なのだろう)。