B..4 性質

まず、Napier の対数を現代の記号を使って書き直そう。 定義のところで示した式

$$\frac{y}{r}=\log_b\left(\frac{x}{r}\right),\quad b:=\left(1-\frac{1}{r}\right)^r,\quad r:=10^7$$

より

$$\mathrm{Nap.Log} x=r\log_b\frac{x}{r} =r\frac{\log (x/r)}{\log b} =r\frac{\log(x/r)}{\log(1-1/r)^r} =\frac{\log(x/r)}{\log(1-1/r)}$$ (1)

を得る。

$\mathrm{Nap.Log} \colon (0,\infty)\to\R$ は単調減少関数である。

$$\mathrm{Nap.Log} x \left\{ \begin{array}{l} >0 \LongIff 0<x<r \\ =0 \LongIff x=r \\ <0 \LongIff x>r \end{array} \right.$$

このうち $\mathrm{Nap.Log} r=0$ を覚えておくとよい。

$\mathrm{Nap.Log} 1\ne 0$ に注意しよう。何しろ

$$\mathrm{Nap.Log} 1=\frac{\log (1/r)}{\log(1-1/r)} =161180948.4505352\cdots \kinji 161180948$$

というトンでもなくデカイ数値である。

現代の対数の持つ「積を和に変える」性質 ( $\log (x y)=\log x+\log y$) は 成り立たない。かわりに

$$\mathrm{Nap.Log} \left(\frac{x y}{r}\right)=\mathrm{Nap.Log} x+\mathrm{Nap.Log} y$$ (2)

が成り立つ。