2.2.3 LU分解

行列 $A$ に対して、

$$A=L U,$$   $$\mbox{$L$ は下三角行列}$$$$,$$   $$\mbox{$U$ は上三角行列}$$

をみたす $L$, $U$ が存在するとき、 $L$ と $U$ の組を $A$ の LU 分解とよび、 $L$ と $U$ の組を求めることを $A$ を LU 分解する、という。

以下、後の内容を予告する。

任意に与えられた行列 $A$ に対して、 その LU 分解はいつも存在するとは限らない (定理 2.7 で示すように、 $A$ が正則である場合は、 $A$ のすべての主座小行列式⁴が $\ne 0$ であることが LU 分解が存在するための必要十分条件である)。 しかし $A$ が正則であれば、 適当な置換行列⁵ $P$ を 左からかけた $P A$ を LU 分解することができる ($P A$ は $A$ の行ベクトルを入れ替えたもの)。

正則行列 $A$ が LU 分解できるとき、 分解の仕方を

(1)

$L$ の対角成分はすべて $1$ (すなわち $L$ は単位下三角行列)

(2)

$U$ の対角成分はすべて $1$ (すなわち $U$ は単位上三角行列)

のいずれかに限定すると、分解は一意的に定まる (命題 2.9)。