2.5 LU分解の実例

Gauss の消去法の例としてあげた

$$\left( \begin{array}{cccc} 2&3&-1&5 \\ 4&4&-3&3 \\ -2&3&-1&... ...in{array}{cccc} 2&3&-1&5 \\ 0&-2&-1&-7 \\ 0&0&-5&-15 \end{array} \right)$$

を考えてみよう。 もちろん係数行列の変形だけ取り出すと

$$\left( \begin{array}{ccc} \mbox{\textcolor{red}{$2$}}&3&-1 \\ \m... ...ow \left( \begin{array}{cccc} 2&3&-1 \\ 0&-2&-1 \\ 0&0&-5 \end{array}\right)$$

となる。

$$q_{21} = \frac{\mbox{\textcolor{green}{$4$}}} {\mbox{\textcolor{red}{$2$}... ... q_{31}=\frac{\mbox{\textcolor{blue}{$-2$}}} {\mbox{\textcolor{red}{$2$}}}=-1,$$

$$q_{32} = \frac{\mbox{\textcolor{green}{$6$}}} {\mbox{\textcolor{red}{$-2$}}}=-3$$

が分かるので、

$$L= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -3 & 1 \end{array} \right)$$

であり、もちろん (上で見えているように)

$$U= \left( \begin{array}{rrr} 2 & 3 & -1\\ 0 & -2 & -1\\ 0 & 0 & -5 \end{array} \right)$$

である。実際

$$L U= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -... ...gin{array}{rrr} 2 & 3 & -1\\ 4 & 4 & -3\\ -2 & 3 & -1 \end{array}\right) =A.$$

(加筆) §2.4 は読むのが面倒なのか、 読めなかった人がいるので、この実例で説明してみる。

$${\cal L}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 &... ...atrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

であるから、

$$L={\cal L}^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{pmatri... ...rix}^{-1} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}^{-1}$$

$$= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \ 2 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix... ...pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \ 2 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix... ...\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \ 2 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix... ...{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \ 2 & 1 & 0 \ -1 & -3 & 1 \end{pmatrix}.$$