5.3 QR 法の原理

Next: 5.3.0.0.1 ステップ1 Up: 5 QR 法 Previous: 5.2 QR 変換

5.3 QR 法の原理

行列が与えられたとき、

	$\displaystyle A_0$	$\displaystyle =A=Q_0R_0, \quad A_1=R_0 Q_0,$
	$\displaystyle A_1$	$\displaystyle =Q_1R_1, \quad A_2=R_1 Q_1,$
(9)	$\displaystyle A_2$	$\displaystyle =Q_2R_2, \quad A_3=R_2 Q_2,$
		$\displaystyle \cdots$
	$\displaystyle A_k$	$\displaystyle =Q_kR_k, \quad A_{k+1}=R_k Q_k,$
		$\displaystyle \cdots$

と QR 変換を繰り返すと、

の対角線の下側の成分はすべて 0 に収束する。

$\begin{jremark}[たまにある誤解を正す]\upshape このことを「$A_k$... ...\infty} A_k=U \end{displaymath}となるわけではない。 \qed \end{jremark}$

一般性の追求はほどほどにして、次の定理を証明しよう。

$\begin{jtheorem}[QR 法の原理]\upshape $A\in GL(n;\C)$\ で、その固有�... ...�成分は $\lambda_1$, $\cdots$, $\lambda_n$\ に収束する。 \end{jtheorem}$

$\begin{jremark}\upshape 実対称行列については、上の定理の仮定�... ...�てしまう)、あまり一般的な仮定とは言えない。 \end{jremark}$

証明. $\qedsymbol$

Subsections

Next: 5.3.0.0.1 ステップ1 Up: 5 QR 法 Previous: 5.2 QR 変換

桂田祐史
2015-12-22