5.3.0.0.4 ステップ4

(10) と (15) から

$$A_{k+1}=P_k^\ast A P_k= D_1^k D_2 S_k^\ast (Q^\ast A Q)S_k D_2^\ast D_1^{k\ast}.$$

$$A=M \Lambda M^{-1}=(Q R)\Lambda (R^{-1}Q^\ast)$$

より

$$Q^\ast A Q=R\Lambda R^{-1}.$$

この行列は (右辺に注目することで) 上三角行列で、かつ対角線上に $\lambda_1$ , $\cdots$ , $\lambda_n$ がこの順にならんでいる。 $k\to\infty$ のとき、$S_k\to I$ だから

$$A_{k+1}\to D_1^k (D_2 R\Lambda R^{-1}D_2^\ast) D_1^{\ast k}$$

この右辺は上三角行列で、対角成分は $\lambda_1$ , $\lambda_2$ , $\cdots$ , $\lambda_n$ である。$\qedsymbol$

この定理から $k\to\infty$ とするときの収束の速さは

$$\left(\frac{\lambda_i}{\lambda_j}\right)^k$$

という因子に関わることが分かる。