5.2 QR 変換

$$A=Q R$$

という QR 分解が得られたとき、順番を変えて掛け算した行列 $A_1$ を作る。

$$A_1=R Q$$

これは $R=Q^\ast A$ より

$$A_1= Q^\ast A Q$$

となるので、実は $A$ を $Q$ で相似変換したものである。 これを QR 変換と言う。

固有値を求めるために QR 変換を用いる場合、 まず Hessenberg 行列に相似変換した後に使われることが多い。

• Hessenberg 行列の QR 変換は Hessenberg 行列である。
• 実対称行列の QR 変換は実対称行列である。
  ($\because$ 対称行列の直交行列による相似変換は実対称行列であるから。)
• Hermite 行列の QR 変換は Hermite 行列である。
• 三重対角行列の QR 変換は三重対角行列とは限らないが、 実対称三重対角行列の QR 変換は実対称三重対角行列である (実対称三重対角 == 実対称かつ Hessenberg だから)。