10 Shur 分解

任意の $A\in\C^{n\times n}$ に対して、 unitary 行列 $U$ と上三角行列 $S$ が存在して、

$$U^H A U=S.$$

ここで $U^H$ は $U$ の Hermite 共役 (共役転置) $\overline U^T$ を表わす。 これを $A$ の Schur 分解という。

(事実自体は、線形代数の教科書、 例えば佐武 [11] IV§3 にも書いてあるが、 Schur 分解という名前は冠されていないことが多いようである。)

$U=(u_1,u_2,\cdots,u_n)$ の列ベクトル $u_j$ を Schur ベクトルと呼ぶ。

$A$ が Hermite 行列ならば、固有ベクトルの直交性により、 $S$ が対角行列になり、$u_j$ は $A$ の固有ベクトルになる。

実行列 $A$ に対しては、$U$ を実直交行列 $Q$ に制限し、 $S$ を対角ブロックの大きさが $2$ 以下のブロック上三角行列 ⁷に緩和した形の実 Schur 分解

$$Q^T A Q=S$$

が存在する (実 Schur 分解)。 $S$ の対角ブロックの固有値が $A$ の固有値である。

(実) Schur 分解の存在は数学的に保証されているが、 それを有限回の四則と開平演算で計算することはできない

Hermite 対称でもないのに、固有ベクトルではなく Schur ベクトルを計算する のは、これが数値的に安定に計算できるからだという。

MATLAB では schur() という関数が用意されている。 [u,t]=schur(a) として u*t*u'-a を計算すると…