証明.
仮定
![$ {\cal K}_n(A,x)=\R^n$](img274.png)
より、
![$ \dim{\cal K}_j(A,x)=j$](img275.png)
(
![$ j=1,2,\dots,n$](img276.png)
) が成り立つので、
![$ {\cal K}_j\setminus{\cal K}_{j-1}$](img277.png)
は空でなく、
Gram-Schmidt の直交化法により
![$ \R^n$](img48.png)
の正規直交基底が得られる。
また作り方から明らかに任意の
![$ k$](img140.png)
に対して
![$ \Vector{u}_k\in{\cal K}_k$](img278.png)
,
![$ \dim{\cal K}_k=k$](img279.png)
であるから、
![$ \{\Vector{u}_j\}_{j=1}^k$](img280.png)
は
![$ {\cal K}_k$](img250.png)
の基底になっている。
さて、任意の
に対して、
であるので、
であるから、
は
,
,
,
の線形結合になる。
すなわち
をみたす
![$ \beta_{jk}$](img290.png)
(
![$ k=1,2,\dots,\min\{j+1,n\}$](img291.png)
) が存在する。
![$ k>j+1$](img292.png)
に対して
![$ \beta_{jk}:=0$](img293.png)
とおいて、
行列
![$ B:=(\beta_{jk})$](img294.png)
を定めると、
![$ \{\Vector{u}_j\}$](img296.png)
が正規直交基底であることから
![$ U$](img143.png)
は実直交行列で
![$ U^T=U^{-1}$](img297.png)
.
これを上の等式の両辺に左からかけて
![$ U^T A U=B$](img298.png)
.
もしも
![$ A$](img7.png)
が実対称であれば、
すなわち
![$ B$](img300.png)
も対称である。
対称な Hessenberg 行列は三重対角行列に他ならない。