6.2 クリロフ部分空間

まず定義から容易に分かることをまとめておく。

証明.

(1)

$$A{\cal K}_k =A\;\mathrm{Span}\{x,A x,A^2x,\cdots,A^{k-1}x\} =\mathrm{Span}\{A x,A^2 x,A^3x,\cdots,A^{k}x\}$$

$$\subset\mathrm{Span}\{x,A x,A^2 x,A^3x,\cdots,A^{k}x\}={\cal K}_{k+1}.$$

(2)

$${\cal K}_k =\{c_1 x+c_2 A x+c_3 A^2 x+\cdots+c_k A^{k-1}x; (c_j)\in\R^k\}$$

$$=\{(c_1 I+c_2 A+c_3 A^2+\cdots+c_k A^{k-1})x; (c_j)\in\R^k\}$$

$$=\{f(A)x; f(x)\in\R[x], \deg f(x)\le k-1\}.$$

(3)

$\mathrm{Span}$ であるから $\R^n$ の線形部分空間であることは明らかである。 また ${\cal K}_k$ を生成する集合 $\{x,Ax,\dots,A^{k-1}x\}$ 自体が $k$ について 単調増加であることから、 ${\cal K}_k$ が $k$ について単調増加であることも明らかである。

(4)

前項より $\dim{\cal K}_k\le \dim{\cal K}_{k+1}$ . ${\cal K}_{k+1}=\mathrm{Span}\{{\cal K}_k,A^k x\}$ であるから、 $A^k x\in {\cal K}_k$ であれば ${\cal K}_{k+1}={\cal K}_k$ . $A^k x\not\in{\cal K}_k$ であれば $\dim{\cal K}_{k+1}=\dim{\cal K}_k+1$ . $\qedsymbol$

$\qedsymbol$

証明. まず ${\cal K}_1=\mathrm{Span}\{x\}$ であるから $\dim{\cal K}_1=1$ . 命題 6.2 から $\exists m\in\N$ s.t.

$${\cal K}_1 \subsetneq {\cal K}_2 \subsetneq \cdots \subsetneq {\cal K}_m ={\cal K}_{m+1}.$$

$A^m x\in {\cal K}_{m+1}={\cal K}_m=\mathrm{Span}\{x,Ax,A^2x,\dots, A^{m-1}x\}$ . これから容易に $A^{j} x\in {\cal K}_m$ ($j\ge m$ ) が 導かれる。 ゆえに $\forall j\ge m$ に対して ${\cal K}_j=\mathrm{Span}\{x,Ax,\dots, A^{j-1}x\}\subset{\cal K}_m$ . もちろん ${\cal K}_j\supset {\cal K}_m$ であるから ${\cal K}_j={\cal K}_m$ . $\qedsymbol$ $\qedsymbol$