3.1 Waller に書いてあったこと (数学的には「予想」)

正方形領域 $\Omega=(0,1)\times(0,1)$ における

$$-\Laplacian u=\lambda u,\quad \frac{\rd u}{\rd n}=0$$

の固有関数は

$$\cos m\pi x\cos n\pi y$$   ( $m,n=0,1,2,\cdots$ )

$m,n\in\N\cup\{0\}$ に対して、

$$\varphi_{mn}(x,y)= \left\{ \begin{array}{ll} \cos m\pi x\cos m... ...\cos n\pi y-\cos n\pi x\cos m\pi y & \text{($n>m\ge 0$)}, \end{array} \right.$$

$$M:=\left\{\varphi_{mn}; m,n\in\N\cup\{0\}\right\}$$

とおく。 以下のことは容易に証明できる。

(I)

$M$ は完全直交系である。

(II)

$\varphi_{mm}$ の節線 $\{(x,y);\varphi_{mm}(x,y)=0\}$ は完全な対称性を持つ (二面体群 $D_4$ の任意の要素に関して 不変)

(III)

$m\ne n$ , $m$ と $n$ は共に偶数か共に奇数とするとき、 $\varphi_{mn}$ の節線は完全な対称性を持つ。 それにもかかわらず $\lambda_{mn}=\lambda_{nm}$ .

(IV)

$m\ne n$ , $m$ と $n$ は一方が偶数で他方が奇数とするとき、 $\varphi_{mn}$ の節線は完全な対称性を持たない。 $90^\circ$ の回転について不変でなく、 $\varphi_{nm}$ の節線になる。 $\lambda_{mn}=\lambda_{nm}$ .

一方、板の固有値問題については、固有関数の族 $P=\{\Phi_{mn}; m,n\in\N\cup\{0\}\}$ で、以下の性質を持つものが存在する、 と Waller [22] には書いてあるように読める。

(i)

$P$ は完全直交系である。

(ii)

$\Phi_{mm}$ の節線 $\{(x,y);\Phi_{mm}(x,y)=0\}$ は完全な対称性を持つ (二面体群 $D_4$ の任意の要素に関して不変)

(iii)

$m\ne n$ , $m$ と $n$ は共に偶数か共に奇数とするとき、 $\varphi_{mn}$ の節線は完全な対称性を持つ。 $\lambda_{mn}\ne\lambda_{nm}$ .

(iv)

$m\ne n$ , $m$ と $n$ は一方が偶数で他方が奇数とするとき、 $\Phi_{mn}$ の節線は完全な対称性を持たない。 $90^\circ$ の回転について不変でなく、 $\Phi_{nm}$ の節線になる。ゆえに対応する固有値は重根である。 $\lambda_{mn}=\lambda_{nm}$ .

このことを数学的に証明し、 (III) と(iii) の相違の原因を理解したい。