3.4 $E_2$ の安定性を調べる

$E_2$ における $f$の Jacobi行列は

$$f'\left(E_2\right) =f'\left( \frac{\gamma+\mu}{\beta},-\frac{\m... ...\begin{pmatrix} -\mu R_0 & -(\gamma+\mu)\\ -\mu+\mu R_0 & 0 \end{pmatrix}.$$

この行列の特性多項式は

$$\lambda^2+\mu R_0+(\gamma+\mu)\mu(R_0-1)=0.$$

固有値は

$$\lambda=\frac{1}{2}\left(-\mu R_0\pm\sqrt{D}\right).$$

ただし

$$D:=\left(\mu R_0\right)^2+4(1-R_0)\mu(\mu+\gamma).$$

(a)

$R_0<1$ のとき、 $D>(\mu R_0)^2$ であるから、 $\sqrt{D}>\mu R_0$. ゆえに $\lambda$ は正と負、両方の値がある。 正のものがあることから、$E_2$ は不安定平衡点である。

(b)

$R_0=1$ のとき、 $\sqrt{D}=\mu R_0$. このとき $\lambda=0,-\mu R_0$. $-\mu R_0$ は負であるが、0 があるので、安定か不安定か、 すぐには(線形化安定性解析だけでは)判断できない。

(c)

$R_0>1$ のとき、まず $D<(\mu R_0)^2$ が成り立つことに注意しよう。

(i)

$D<0$ ならば $-D>0$.

$$\lambda=\frac{1}{2}\left(-\mu R_0\pm\sqrt{-D}i\right) \textcolor... ...quad \text{(\textcolor{red}{言葉で言うなら「固有値は虚数」})}.$$

$$\MyRe\lambda=-\frac{1}{2}\mu R_0<0.$$

ゆえに $E_2$ は漸近安定な渦状点である。

(ii)

$0<D$ ( $<(\mu R_0)^2$) ならば、 $0<\sqrt{D}<\mu R_0$. ゆえに

$$\lambda=\frac{1}{2}\left(-\mu R_0\pm\sqrt{D}\right)<0.$$

ゆえに $E_2$ は漸近安定である。

安定性のみに着目すると、 $E_2$ は $R_0<1$ ならば不安定、$R_0>1$ ならば安定である。