3.3 $E_1$ の安定性を調べる

$E_1$ における $f$の Jacobi行列は

$$f'(E_1)=f'(b/\mu,0) = \begin{pmatrix} -\mu & -\beta\frac{b}{\mu}\\ 0 &\beta\frac{b}{\mu}-(\gamma+\mu) \end{pmatrix}.$$

この行列の固有値は (対角成分であるから)

$$\lambda_1:=-\mu<0,$$

$$\lambda_2:=\frac{b\beta}{\mu}-(\gamma+\mu) =\frac{b\beta}{\mu}\le... ...{($R_0>1$)} =0 & \text{($R_0=1$)} <0 & \text{($R_0<1$)} \end{array} \right.$$

ただし $R_0$ は、この場合の基本再生算数である:

$$R_0:=\frac{\beta N}{\gamma+\mu}=\frac{\beta b}{\mu(\mu+\gamma)}.$$ (9)

• $R_0<1$ のとき、 $\lambda_2<0$ であるから、 $f(E_1)$ のすべて(2つ)の固有値の実部は負である。 ゆえに $E_1$ は漸近安定な平衡点である。
  つまり、 $R_0<1$ ならば感染者数 $=0$ という状態 $E_1$ は、 漸近安定 (十分小さい任意の摂動は 0 に減衰する) である。 ちょっと感染者が出ても終息する、ということになる。
• $R_0>1$ のとき、 $f'(E_1)$ は正の固有値 $\lambda_2$ を持つので、$E_1$は不安定な平衡点である。