3.2 平衡点は2つある

$$f(S,I)=\bm{0} \quad\Iff\quad \left\{ \begin{array}[ht]{ll} b-S(\mu+\beta I)=0\\ I(\beta S-(\mu+\gamma))=0 \end{array} \right.$$

• $I=0$ の場合、$b-\mu S=0$ より $S=\dfrac{b}{\mu}$. ゆえに $(S,I)=\left(\dfrac{b}{\mu},0\right)$.
• $I\ne 0$ の場合、 $\beta S-(\mu+\gamma)=0$ より $S=\dfrac{\mu+\gamma}{\beta}$.
  $$b-S(\mu+\beta I)=0\quad\Iff\quad b-\frac{\mu+\gamma}{\beta}(\mu+... ...ta}{\mu+\gamma}\quad\Iff\quad I=\dfrac{\beta}{\mu+\gamma}-\dfrac{\mu}{\beta}.$$
  ゆえに $(S,I)= \left( \dfrac{\mu+\gamma}{\beta},\dfrac{\beta}{\mu+\gamma}-\dfrac{\mu}{\beta} \right)$.

簡単のため

$$E_1:=\left(\frac{b}{\mu},0\right),\quad E_2:=\left( \frac{\mu+\gamma}{\beta},\frac{\beta}{\mu+\gamma}-\frac{\mu}{\beta} \right)$$ (8)

とおく。

$E_2$ は感染者が存在する平衡状態 (平衡点) である。 SIRモデルの場合には、そのような平衡点は存在しなかった (感染者数が0でない限り、感受性者数は狭義単調減少)。 出生による感受性者の増加(供給)と、 感染と自然死による “減少” がつり合うことで、 平衡状態になっている。

$E_1$ は感染者が存在しない状態である。SIR モデルと似ているが、 SIRモデルの場合は、$S$ 軸上の任意の点 $(S,0)$ が平衡点であったが、 ここではただ一つの点 $E_1=\left(\frac{b}{\mu},0\right)$ である。 ( $\dfrac{b}{\mu}=N(t)=N(0)=S(0)+I(0)+R(0)=S(0)+0+0$ であるから $S(0)= \dfrac{b}{\mu}$.)