3.1.0.1 問

そのことを証明せよ。(ヒント: 解の一意性を用いると簡単に済む。)

念のため注意: $R(0)=0$ としてあるので、 $N(0)=S(0)+I(0)$ である。

以下では簡単のため、 この条件 (7) が満たされる場合のみ考える。 このとき $N(t)$ が定数であるから、$S(t)$ と $I(t)$ が分かれば $R(t)$ が求まる。 $S(t)$ と $I(t)$ を定めるには、 (5a), (5b) のみあれば良い。

$$\bm{x}(t):=\begin{pmatrix}S(t) I(t) \end{pmatrix},$$

$$f(S,I):=\begin{pmatrix} b-\mu S-\beta S I\\ \beta S I-(\mu+\gamma) I \end{pmatrix}$$

とおくと、(5a), (5b) は次のように書ける。

$$\frac{\D\bm{x}}{\D t}(t)=f(\bm{x}(t)).$$

2次元の力学系であることに注意する。

$f$ のJacobi行列を求めておく。

$$f'(S,I)= \begin{pmatrix} -\mu-\beta I & -\beta S\\ \beta I&\beta S-(\gamma+\mu) \end{pmatrix}.$$