4.2 単振動の方程式 $x''(t)=-\omega ^2 x(t)$

$\omega$ を正定数として、

$$x''(t)=-\omega^2 x(t)$$ (6)

という微分方程式は単振動 (simple harmonic motion, simple harmonic oscillation) の方程式と呼ばれる。 振動現象において、釣り合いの位置からの変位を $x(t)$ として、 微小な振動を考えると、 多くの場合に $x(t)$ は適当な $\omega$ に対して、 (7) を満たす。 例えば物理学の初歩を学んであれば、バネ定数 $k$ のバネに質量 $m$ の 重りをつけて作ったバネ振り子の運動が

$$x''(t)=-\omega^2 x(t),\quad \omega:=\sqrt{\frac{k}{m}}$$

に従うことを学んでいると思う。 これについても、解き方は後回しにして、結果だけを述べておくと

$$x(t)=C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega t$$   ($C_1$ , $C_2$ は任意定数)

となる (有名なので高校生の時に習ったかもしれない)。 $C_1$ と $C_2$ を定めるには、 時刻 $t=0$ での重りの位置 $x(0)$ , 速度 $x'(0)$ を与えれば良い。

$$x(0)=x_0,\quad x'(0)=v_0$$

とすると、$C_1=x_0$ , $C_2=\dfrac{v_0}{\omega}$ であるので、

$$x(t)=x_0\cos\omega t+\frac{v_0}{\omega}\sin\omega t.$$

このような問題も Mathematica を使って、前問と同様に解くことが出来る。

sol=x[t]/.DSolve[{x''[t]==-omega^2 x[t],x[0]==x0,x'[0]==v0},x,t]
g=Plot[sol/.{omega->1,x0->1,v0->1},{t,0,20}]

図 3: 単振動の方程式の解 -- 時間に関するサイン・カーブ

関数 $x(t)$ のグラフはサイン・カーブになる ($\sin$ , $\cos$ の合成は一つの $\sin$ で表せることに注意しよう)。 $\qedsymbol$