2 微分方程式ことはじめ -- ものを投げる

重力が働く場合に、ものを投げた時にどのような運動が起こるか、 高等学校の物理学を習った人にはお馴染みである。

文部科学省は、高等学校の物理の説明に微積分を使わない方針を堅持しているが、 ここではそういう制限を忘れて、微積分を使って説明する。

すると、数学的には、要点は次の二つである。

1. 鉛直下向きに $x$ 軸を取って、 物体の時刻 $t$ での位置を $x(t)$ で表すとき， 加速度 $x''(t)$ は重力加速度と呼ばれる定数になる。
2. 数学的には、$a$ を定数として、
   $$f''(t)=a$$
   であれば、1回積分して
   $$f'(t)=a t+C$$   ($C$ は積分定数)$$.$$
   もう1回積分すると
   $$f(t)=\frac{1}{2}a t^2+C t+D$$   ($D$ は積分定数)$$.$$
   -- 要するに単に積分するだけで解けてしまう。