2.2 放物運動 (projectile motion, parabolic motion of projectiles)

物を投げたときの運動を考える。 鉛直上向きに $y$ 軸を取り、 投げる方向の水平方向に $x$ 軸を取ると (やや苦しい説明…)、

$$x''(t)=0,\quad y''(t)=-g.$$ (1)

最初 ($t=0$ ) の位置を $(x_0,y_0)$ , 投げる速さを $v_0$ , 投げ上げる角度を (地面から測った角度で) $\theta$ ( $0\le\theta\le \pi/2$ )とすると、

$$\left\{ \begin{array}{ll} x(0)=x_0,\quad y(0)=y_0,\\ x'(0)=v\cos\theta,\quad y'(0)=v\sin\theta. \end{array} \right.$$ (2)

$x$ と $y$ , 2つあって難しいようだけど、

$$x''(t)=0,\quad x(0)=x_0,\quad x'(0)=v\cos\theta,$$

$$y''(t)=-g,\quad y(0)=y_0,\quad y'(0)=v\sin\theta$$

と並べ直してみると、実は両者は独立で、 それぞれ上で説明した型の問題で、難しくなく解ける:

$$x(t)=x_0+v_0 t\cos\theta,\quad y(t)=y_0+v_0 t\sin\theta-\frac{1}{2}g t^2.$$ (3)

簡単のため $x_0=0$ , $y_0=0$ とすると

$$x=v_0 t\cos\theta,\quad y=v_0 t\sin\theta-\frac{1}{2}g t^2.$$

(後で、一般の場合の結果が欲しければ、 結果の $x$ , $y$ をそれぞれ $x-x_0$ , $y-y_0$ で置き換えればよい。)

$\theta=0$ の場合は、$x(t)=0$ , $y(t)=v_0 t-\dfrac{1}{2}g t^2$ .

$0\le\theta<\pi/2$ とすると、 最初の式から $\dsp t=\frac{x(t)}{v_0\cos\theta}$ . これを第2式に代入して

$$y(t)=v_0\frac{x(t)}{v_0\cos\theta}\sin\theta -\frac{1}{2}g\left(... ...)}{v_0\cos\theta}\right)^2 =x(t)\tan\theta-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}x(t)^2$$

という軌跡の方程式が得られる。 簡単のため、$x(t)$ , $y(t)$ をそれぞれ $x$ , $y$ で表し、 平方完成の式変形をすると

$$y =-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta} \left(x-\frac{v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}\right)^2 +\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}.$$

ゆえに、軌跡は軸が $x=\dfrac{v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}$ , 頂点が $\left(\dfrac{v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}, \dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}\right)$ , 下開きの放物線である。 最高の高さは $\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{g}$ . これは $\theta=\pi/2$ のときに最大になる (というのは、 $\theta<\pi/2$ として議論しているので実は乱暴である)。 $y=0$ となるのは、$x=0$ (これは明らか) と

$$x=\tan\theta\cdot\frac{2v_0^2\cos^2\theta}{g} =\frac{2v_0^2\cos\theta\sin\theta}{g} =\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}.$$

これが地面に落ちる場所を表している。

高校物理の暗記術としては、 最高点に到達する時刻は $\D y/\D t=0$ から $t=\dfrac{v_0\sin\theta}{g}$ , その位置は

$$(x,y)=\left(v_0\frac{v_0\sin\theta}{g}\cos\theta, v_0\frac{v_0\s... ...ft(\dfrac{v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}, \dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{g}\right),$$

地面に落ちるには、最高点に到達するのに要する時間の2倍かかるとして、 その場所は

$$x=\dfrac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}$$

という求め方をする。軌跡が放物線であることは、 ある意味ズルして覚えておくわけだ。 $\qedsymbol$