2.1 自由落下 (free fall)

時刻 $t$ における高さを $x(t)$ とする。 1階微分 $x'(t)$ が速度、 2階微分 $x''(t)$ が加速度である。 物理学では、重力による加速度は下向きに大きさ $g$ (重力加速度と呼ばれる定数、 SI単位系でほぼ $9.8\;\mathrm{m s^{-2}}$ ) であると言われている。

$$x''(t)=-g.$$

この解は ($a=-g$ というだけだから)

$$x(t)=-\frac{1}{2}g t^2+Ct+D$$   ($C$ , $D$ は積分定数)$$.$$

例えば最初 ($t=0$ ) に高さ 0 , 速度 0 だったとすると、 $C=0$ , $D=0$ であることが分るので、

$$x(t)=-\frac{1}{2}g t^2.$$

この場合、時刻 $t$ での速度 $v(t)$ は、

$$v(t)=x'(t)=-g t.$$

以上の事実は、有名なガリレオ・ガリレイ (Galileo Galilei, 1564-1642) が明らかにしたが、 微積分がまだなかったので非常に苦労した。 $\qedsymbol$