3.2 分配法則でとにかくバラす

分配法則は良く知っているであろう。

$$(a_1+\cdots+a_n)A=a_1A+\cdots+a_n A,$$   つまり$$\quad \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)A =\sum_{i=1}^n \left(a_i A\right).$$

($\sum$ の外の数を中に入れる、ということ。)

これを2回使うと、

$$(a_1+\cdots+a_n)^2 =\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\left(\sum_{j=1}... ...\left(a_i\sum_{j=1}^n a_j\right) =\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n\left(a_ia_j\right)$$

同様にして、$m$ 個の積の場合、$m$ 回分配法則を用いて

$$\left(a_1+\dots+a_n\right)^m =\sum_{i=1}^n\sum_{i_2=1}^n \cdots \sum_{i_m=1}^n\left(a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_m}\right).$$

この右辺を

$$\sum_{1\le i_1,i_2,\cdots,i_m\le n}a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_m}$$

と書くことにする。

こうして、

$$\left(a_1+\dots+a_n\right)^m = \sum_{1\le i_1,i_2,\cdots,i_m\le n}a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_m}.$$ (1)