定理 2.1 の証明

帰納法による。$m=1$ のとき明らかに成り立つ。 $m=k$ のとき成り立つと仮定すると、

$$(a+b)^{k+1} =(a+b)(a+b)^k=(a+b)\sum_{r=0}^n{k\choose r}a^{k-r}b^r$$

$$=\sum_{r=0}^k{k\choose r}a^{k+1-r}b^r+\sum_{r=0}^k{k\choose r}a^{k-r}b^{r+1}.$$

右辺第1項は

$$\sum_{r=0}^k{k\choose r}a^{k+1-r}b^r =a^{k+1}+\sum_{r=1}^k{k\choose r}a^{k+1-r}b^r.$$

右辺第2項は、途中で $r+1$ を $r'$ と置き換えて

$$\sum_{r=0}^k{k\choose r}a^{k-r}b^{r+1} = \sum_{r=0}^k{k\choose r}a^{(k+1)-(r+1)}b^{r+1} =\sum_{r'=1}^{k+1}{k\choose r'-1}a^{k+1-r'}b^{r'}$$

$$=\sum_{r=1}^k{k\choose r-1}a^{k+1-r}b^r+b^{k+1}.$$

ゆえに

$$(a+b)^{k+1} =a^{k+1}+\sum_{r=1}^k\left({k\choose r}+{k\choose r-1}\right) a^{k+1-r}b^r+b^{k+1}$$

$$=a^{k+1}+\sum_{r=1}^k{k+1\choose r}a^{k+1-r}b^r+b^{k+1}$$

$$=\sum_{r=0}^{k+1}{k+1\choose r}a^{k+1-r}b^r+b^{k+1}.$$

これは $m=k+1$ のときも成り立つことを示している。 帰納法により、任意の自然数 $m$ について成り立つ。 $\qedsymbol$

この帰納法による証明は、前回の問9の(2)の証明部分と本質的に同じである。

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