前回のやり残し

この結果を逆関数の微分法を使わずに求めてみよう。 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ であるから、$r_x$ と $r_y$ は比較的簡単に得られる。

$$r_x =\frac{\rd}{\rd x}\left(x^2+y^2\right)^{1/2} =\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^{-1/2}\cdot\frac{\rd}{\rd x}(x^2+y^2) =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},$$

$$r_y =\frac{\rd}{\rd y}\left(x^2+y^2\right)^{1/2} =\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^{-1/2}\cdot\frac{\rd}{\rd y}(x^2+y^2) =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$

これらがそれぞれ $\cos\theta$, $\sin\theta$ に等しいことは容易に分かる ²。 $\theta$ の導関数の方は少し難しい。割と多くのテキストに

$$\theta=\tan^{-1}\dfrac{y}{x}$$

と書かれているが³、 これは $\pmod \pi$ でしか正しくない式である。 本当は、 $\tan^{-1}\dfrac{y}{x}$ が主値 ( $(-\pi/2,\pi/2)$ 内の値) を意味するとして、

$$\theta= \left\{ \begin{array}{ll} \tan^{-1}\dfrac{y}{x} & \mbox{(... ...ox{($x=0$ かつ $y<0$)}\\ \pi & \mbox{($y=0$ かつ $x<0$)} \end{array}\right.$$

となるはずである ($r\ne 0$, $0<\theta<2\pi$ であるから、 $y=0$, $x\ge 0$ となる $(x,y)$ は除かれていることに注意しよう)。

$$\frac{\rd}{\rd x}\tan^{-1}\frac{y}{x} =\frac{1}{1+(y/x)^2}\frac{\... ...right) =\frac{1}{1+(y/x)^2}\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right)=-\frac{y}{x^2+y^2},$$

$$\frac{\rd}{\rd y}\tan^{-1}\frac{y}{x} =\frac{1}{1+(y/x)^2}\frac{\... ...\left(\frac{y}{x}\right) =\frac{1}{1+(y/x)^2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x}{x^2+y^2}$$

であることから、

$$\theta_x=-\frac{y}{x^2+y^2},\quad \theta_y=\frac{x}{x^2+y^2}$$

が導けるが、 少々面倒である (第1,2,3,4象限では比較的簡単だが、 $x$ 軸と $y$ 軸の上でどうすれば良いか？⁴)。 これがそれぞれ $-\dfrac{\sin\theta}{r}$, $\dfrac{\cos\theta}{r}$ に等しいことは容易に確められる。 $\qedsymbol$

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