...$ゆえに$¹

こういう計算をするとき、 ヤコビ行列の成分の並べ方を間違えると、 とんでもない結果になってしまうことに注意しよう。

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... に等しいことは容易に分かる²

例えば $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} =\dfrac{r\cos\theta}{\sqrt{(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2}} =\dfrac{r\cos\theta}{r}=\cos\theta$.

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... と書かれているが³

本当に困ったことである。 C言語のプログラムで、デカルト座標を極座標に直すには、 r=sqrt(x*x+y*y); theta=atan2(y,x); のようにする。 theta=atan(y/x); ではマズイ -- というのは常識的なのだが、 数学書の方が旧態依然のママなのは情けない。

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... 軸の上でどうすれば良いか？⁴

例えば、 $x=0$, $y>0$ の範囲では、 偏微分の定義から $\theta_y=0=\dfrac{x}{x^2+y^2}$ となることは容易に分かるが、 $\theta_x=-\dfrac{y}{x^2+y^2}$ となることは、 偏導関数の右側からの極限と、 左側からの極限がともに $-\dfrac{y}{x^2+y^2}$ であることを確め、 「 $f\colon (a,b)\to\R$ が連続で、 $c\in(a,b)$ 以外では微分可能で、 $\dsp\lim_{x\ne c\atop x\to c}f'(x)=D$ であれば、 $f$ は $c$ で微分可能で、$f'(c)=D$.」という定理を用いる。

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