2.9.2.4 一重指数関数的な減衰をする関数の積分

例えば

$$I=\int_0^\infty f(x) \Dx$$

において、

$$f(x)\sim f_1(x) e^{-x}\quad\mbox{($x\to\infty$)}, \quad \... ...��代数的か、 あるいは単に有界で減衰しない)}$$

のような場合、

$$\varphi(t)=\exp(t-\exp(-t))$$

とおいて、変数変換 $x=\varphi(t)$ を施してから台形公式を適用する。

$$\lim_{t\to-\infty}\varphi(t)=0,\quad \lim_{t\to\infty}\varphi(t)=\infty,\quad \lim_{t\to-\infty}\varphi'(t)=0.$$

$t\to\pm\infty$ のとき $\varphi'(t)$ は 減衰しないが、 $f(\varphi(t))\varphi'(t)$ は二重指数関数的に減衰する。

$$I_h=h\sum_{n=-\infty}^\infty f\left(\exp(nh-\exp(-nh))\right) (1+\exp(-nh))\exp(nh-\exp(-nh)).$$