2.9.2.3 半無限区間上の減衰の緩い関数の積分

$$I=\int_0^\infty f(x) \Dx$$

において $f$ の減衰が代数的な場合は、

$$\varphi(t)\DefEq\exp(\pi \sinh t)\quad\mbox{($t\in\R$)}$$

とおいて、変数変換 $x=\varphi(t)$ を施す。

$$\varphi'(t)=\pi\exp(\pi \sinh t)\cosh t$$

であり、

$$\lim_{t\to-\infty}\varphi(t)=0,\quad \lim_{t\to\infty}\varphi(t)=\infty,\quad \lim_{t\to-\infty}\varphi'(t)=0.$$

$t\to\infty$ のとき $\varphi'(t)$ は 減衰しないが、 $f(\varphi(t))\varphi'(t)$ は二重指数関数的に減衰する。

念のため公式を書いておくと

$$I_h=\pi h\sum_{n=-\infty}^\infty f(\exp(\pi \sinh nh))\exp(\pi \sinh nh)\cosh n h.$$