2.9.2.2 $\R$ 上の減衰の緩い関数の積分

$$I=\int_{-\infty}^\infty f(x) \Dx$$

において、$x\to\infty$ のとき $f$ の減衰が「緩い」、例えば

$$\exists r>1\quad\mbox{s.t.}\quad f(x)\sim \frac{C}{\vert x\vert^r}$$

のような代数的な減衰の場合は、直接台形則を適用するのではなく、

$$\varphi(t)=\sinh \left(\frac{\pi}{2}\sinh t\right)$$

とおいて、変数変換 $x=\varphi(t)$ を施すことで、 効率の良い公式が得られる。

$$\lim_{t\to\pm\infty}\varphi(t)=\pm\infty\quad\mbox{(複号同順)}.$$

この場合は、 $t\to\pm\infty$ のとき $\varphi'(t)$ は 減衰しないが、 $f(\varphi(t))\varphi'(t)$ は二重指数関数的に減衰する。

念のため公式を書いておくと

$$I_h=\frac{\pi h}{2}\sum_{n=-\infty}^\infty f\left( \sinh\... ...t) \right) \cosh nh \cosh\left(\frac{\pi}{2}\sinh nh\right).$$