2.4.2 複合中点則

$[a,b]$ を $N$ 個の小区間に等分し、各小区間の中点を分点とする。すなわ ち

$$h=\frac{b-a}{N},\quad x_j=a+(j-1/2)h\quad\mbox{($j=1,\cdots,N$)}$$

で分点 $x_j$ を定める。そして各小区間で中点則を用いて 計算したものを加えると、

$$M_N=h \left(f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{N-1})+f(x_{N})\right) =h\sum_{j=1}^N f(x_j).$$

後述の Euler-Maclaurin の公式を用いると

$$M_N-I\sim -\frac{1}{2}\cdot\frac{h^2}{12}(f'(b)-f'(a)) +\frac{7}{8}\cdot\frac{h^4}{720}(f'''(b)-f'''(a))- \cdots$$