2.4.1 複合台形則

$[a,b]$ を $N$ 等分し、小区間の端点を分点とする。すなわち

$$h=\frac{b-a}{N},\quad x_j=a+j h\quad\mbox{($j=0,1,\cdots,N$)}$$

で分点 $x_j$ を定める。そして各小区間 $[x_{j-1},x_j]$ で台形則を用いて 計算したものを加えると、

$$\begin{eqnarray*} T_N&=&\frac{h}{2} \left[ \left(f(x_0)+f(x_1)\right) + \le... ...eft[ \half f(x_0)+\sum_{j=1}^{N-1}f(x_j)+\half f(x_N) \right]. \end{eqnarray*}$$

後述の Euler-Maclaurin の公式を用いると

$$T_N-I\sim \frac{h^2}{12}(f'(b)-f'(a))-\frac{h^4}{720}(f'''(b)-f'''(a))+ \cdots$$