2.2.4 DK 法 -- Kerner の解釈

$X_1$, $\cdots$, $X_n$ の $s$ 次基本対称式 ($s$ 個の積全体の和) を $S_s(X_1,\cdots,X_n)$ とおく:

$$S_s(X_1,\cdots,X_n) =\sum_{i_1<i_2<\cdots<i_s}X_{i_1}X_{i_1}\cdots X_{i_s} =\sum_{i_1<i_2<\cdots<i_s}\prod_{j=1}^{s}X_{i_j}.$$

根と係数の関係から

$$f_s(\xi_1,\cdots,\xi_n):= (-1)^s S_s(\xi_1,\cdots,\xi_n)-a_{n-s}=0 \mbox{($s=1,2,\cdots,n$)} .$$ (2.6)

Proof. まず

$$\xi= \left( \begin{array}{c} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \vdots\\ \xi_n ... ...(\xi_1,\cdots,\xi_n) \\ \vdots \\ f_n(\xi_1,\cdots,\xi_n) \end{array}\right)$$

とおき、

$$J=f'(\xi),\quad Q=(q_{is}(\xi))=J^{-1}$$

とすれば、

$$x_i^{(k+1)}=x_i^{(k)}-\sum_{s=1}^nq_{is}(x^{(k)}) f_s(x^{(k)}),$$

ただし

$$x^{(k)}=\left( \begin{array}{c} x_1^{(k)} \\ x_2^{(k)} \\ \vdots \\ x_n^{(k)} \end{array}\right)$$

とおいた。

ところで $S_s(\cdot)$ の定義から、$x$ についての恒等式

$$\prod_{i=1}^n (x-x_i^{(k)}) =x^n+\sum_{s=1}^n(-1)^s S_s(x_1^{(k)},\cdots,x_n^{(k)})x^{n-s}$$

が得られる。この式を $x_i^{(k)}$ について偏微分して、 $x=x_i^{(k)}$ とお くと、

$$-\prod_{j\ne i}\left(x_i^{k}-x_j^{(k)}\right) = \sum_{s=1}^n (-1)^s \frac{\rd S_s}{\rd \xi}$$

(書きかけ) 与えられた $z_1$, $\cdots$, $z_n$ に対して

$$\prod_{j=1}^n\left(x-z_j\right)=Q(x)=x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1 x+b_0$$

とおくと、

$$\frac{\rd Q}{\rd z_j} = \left(\frac{\rd b_{n-1}}{\rd z_j}\right)x^{n-1} +\cdots+\left(\frac{\rd b_1}{\rd z_j}\right)x +\left(\frac{\rd b_0}{\rd z_j}\right)$$

$$= -(x-z_1)\cdots(x-z_{j-1})(x-z_{j+1})\cdots(x-z_n).$$

また根と係数の関係

$$b_{n-k}=(-1)^{k} S_k(z_1,\cdots,z_n)$$

が成り立つ。 ここで $x=z_i$ とおくと、 $-Q'(z_i)\delta_{ij}$ となるから、

$$\left( -\frac{z_i^{n-1}}{Q'(z_i)},\cdots,-\frac{z_i}{Q'(z_i)},-\frac{1}{Q'(z_i)} \right)$$

は $J(z)^{-1}=\left(\rd b_{n-i}/\rd z_j\right)^{-1}$ の第 $i$ 行と 一致する。 ゆえに $J(z)^{-1}f(z)$ の第 $i$ 成分は

$$\frac{-z_i^{n-1}}{Q'(z_i)}(b_{n-1}-a_{n-1})-\cdots -\frac{1}{Q'(z_i)}(b_0-a_0) = -\frac{z_i^n}{Q'(z_i)}(b_n-a_n)-\frac{z_i^{n-1}}{Q'(z_i)}(b_{n-1}-a_{n-1}) -\frac{1}{Q'(z_i)}(b_0-a_0)$$

$$= \frac{-Q(z_i)+P(z_i)}{Q'(z_i)}=\frac{P(z_i)}{Q'(z_i)}.$$

ゆえに ... の各成分を比較して ... を得る。 $\qedsymbol$ ARRAY(0x12b7d24) $\qedsymbol$

Proof. Newton 法の一般的な性質である。 $\qedsymbol$ ARRAY(0x12cc938) $\qedsymbol$