2.2.3 復習: 根と係数の関係

この項の内容は代数学の入門書に解説されていることが多い。色々あるが、 例えば山崎 [19] をあげておく。

$2$ 次方程式の場合

$$a_2 x^2+a_1 x+a_0=a_2(x-\xi_1)(x-\xi_2)$$

より

$$-a_2(\xi_1+\xi_2)=a_1,\quad a_2(\xi_1\xi_2)=a_0.$$

3 次方程式の場合

$$a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0=a_3(x-\xi_1)(x-\xi_2)(x-\xi_3)$$

より

$$-a_3(\xi_1+\xi_2+\xi_3)=a_2,\quad a_3(\xi_2\xi_3+\xi_3\xi_1+\xi_1\xi_2)=a_1,\quad -a_3(\xi_1\xi_2\xi_3)=a_0.$$

これを一般化して

$$a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0=a_n(x-\xi_1)(x-\xi_2)\cdots(x-\xi_n)$$

について、

$$(-1)^s a_n \times($$$$\mbox{$\xi_1$, $\cdots$, $\xi_n$\ から $s$\ 個取って作った積の和}$$$$) =a_{n-s}$$   $$\mbox{($s=1,2,\cdots,n$)}$$$$. \qed$$

その他、判別式、終結式などが勉強しておくべき内容である。