6.5 Dirichletの原理 (次回に回す)

Laplace方程式のDirichlet境界値問題

の解$u$の存在を示すため、Riemann は次のように考えた。

境界条件 (6.7b) を満たす関数の全体 $X$ と、 $X$ 上の汎関数 $J$ を考える。

$$X:=\left\{u\relmiddle\vert u\colon\overline{\Omega}\to\mathbb{R}, % (\forall x\in\rd\Omega) u(x)=g(x) \right\},$$

$$J[u]:=\dint_\Omega\left(u_x^2+u_y^2\right)\DxDy$$   ($u\in X$)$$.$$

[

l]Dirichletの原理 $J$ の最小値を与える $u$ は $\Laplacian u=0$ (in $\Omega$) を満たす。

したがって $J$ の最小値を与える $u$ は (6.7a), (6.7b) の解である。

Riemann (1826-1866) は、 Dirichlet (1805-1859) 先生の講義の中で Dirichlet の原理を聴いたそうである。