6.4.3.1 駆け足の証明 (2ページ)

後述のCarathéodoryの定理により、 $\varphi$ を $\overline{\Omega}$ から $\overline{D} (0;1)$ への同相写像に拡張できることが分かる。それを同じ記号 $\varphi$ で表す。

$$\dsp\lim_{z\to z_0}\frac{\varphi(z)}{z-z_0}= \lim_{z\to z_0}\frac{\varphi(z)-\varphi(z_0)}{z-z_0}=\varphi'(z_0)$$

であるから、$z_0$ は $\dfrac{\varphi(z)}{z-z_0}$ の除去可能特異点である。 以下 $\dfrac{\varphi(z)}{z-z_0}$ を $\overline{\Omega}$ で連続に拡張した写像を $\psi$ で表す。 $\psi$ は$\Omega$ では正則である。

実は $\psi(z)\ne 0$ ( $z\in\Omega$) である。 (実際、 $z\in\Omega\setminus\{z_0\}$ とするとき $\varphi(z)\ne\varphi(z_0)= 0$ であるから $\psi(z)\ne 0$. 一方、$\varphi$ は単射であるから $\varphi'(z_0)\ne 0$ が成り立つので、 $\psi(z_0)=\varphi'(z_0)\ne 0$.)

$\Omega$ は単連結であるから、 $\log\psi(z)=\log\frac{\varphi(z)}{z-z_0}$ の $\Omega$ で一価正則な分枝が定まる。

その実部、虚部を $u$, $v$ とする。

$$\log\frac{\varphi(z)}{z-z_0}=u(z)+i v(z).$$ (6.3)

$u$ は調和関数であり、$v$ は $u$ の共役調和関数である。

$z\in\rd\Omega$ のとき $\left\vert\varphi(z)\right\vert=1$ であるから

$$u(z)=\log\left\vert\frac{\varphi(z)}{z-z_0}\right\vert=-\log\left\vert z-z_0\right\vert$$   ( $z\in\rd\Omega$)$$.$$

ゆえに $u$ は、次の Laplace 方程式の Dirichlet 境界値問題の解である。

$v$ は $u$ の共役調和関数であることから、定数差を除き定まる。 例えば、$z_0$ を始点、 $z\in\Omega$ を終点とする$\Omega$内の曲線 $C_z$ を取って

$$v(z):= \int_{C_z}(v_x\;\Dx+v_y\;\Dy)= \int_{C_z}(-u_y\;\Dx+u_x\;\Dy)$$   

とすればよい($\Omega$ は単連結であるから、$v$ の値は確定する)。

(6.5) を$\varphi$について解くと

$$\varphi(z)=(z-z_0)\exp(u(z)+i v(z)).$$

これから $\varphi(z_0)=0$.

また

$$\varphi'(z) =\exp(u(z)+iv(x))+(z-z_0)(u'(z)+iv'(z))\exp\left(u(z)+iv(z)\right),$$

$$\varphi'(z_0)=\exp(u(z_0)+iv(z_0)).$$

これから、 $\varphi'(z_0)>0\Iff v(z_0)\equiv0\pmod {2\pi}\Iff \exists k\in\mathbb{Z}\quad v(z_0)=2k\pi$. どの $k$ でも $\varphi$ は変わらないので $k=0$. すなわち $v(z_0)=0$ で $v$ を定めれば良い。 $\qedsymbol$

時間配分の問題から、 7「FreeFEM を体験しよう」は早めにやりたいので、 次の「Dirichletの原理」, 「ポテンシャル問題の数値解法」を後回しにした。