6.5.2 反省

Riemann は、汎関数 $J[u]$ を最小にする $u\in X$ の存在は明らかだと考えた。

$J$ は下に有界 ($J[u]\ge 0$) であるから、$J$ は下限を持つ。 それは最小値のはず…

それに Weierstrass が疑義を呈した (「下限は本当に最小値？」とツッコミを入れた)。 これに Riemann は存命中に答えられなかった。

現代的な解説をすると、関数空間は無限次元空間なので、 有界閉集合上の連続関数であっても、最小値を持たないことがありえる。

ポテンシャル問題は重要なため、解の存在について、 多くの人が努力して Dirichlet原理を用いない証明がいくつか発見されたが、 Riemann の発表から約50年後 (1900年頃)、 D. Hilbert が Dirichlet 原理に基づく証明を発表し、 肯定的に解決した。

今では解の存在証明は、このルートをたどるのがスタンダードになっている。 …でも応用複素関数としては、ここから数値計算法に舵を切る (存在証明については、関数解析か偏微分方程式論で学んでください)。

以上の話は、少し込み入っていて、初めて聴く人には分かりにくいと思われるので、 振り返っておこう。

• Riemannの写像定理という関数論で基本的と考えられている定理がある。 それは領域の写像関数の存在に関する定理である。
• Jordan曲線(単純閉曲線)で囲まれた領域²の写像関数は、 Laplace方程式のあるDirichlet境界値問題を解くことで求まる。
• Riemannは、 その境界値問題が次のように解けると主張した:
  汎関数 $J[u]:=\dsp\dint_{\Omega} (u_x^2+u_y^2)\Dx\Dy$ の最小化問題 (変分問題) が解ければ良い ($\because$ Dirichletの原理)。 この$J$の最小値の存在は明らか。

  → ツッコミが入って、頓挫したが、結局は解決された。

最小性は

$$\dint_\Omega (u_xv_x+u_yv_y)\DxDy=0$$   ($v$ は条件 $v=0$ on $\rd\Omega$ を満たす任意の関数)

という条件と同値である。この式は弱形式と呼ばれる。 有限要素法という数値解法では、 微分方程式の近似解を弱形式の解として求める。