6.5.1 証明

証明

$v\colon\overline{\Omega}\to\mathbb{R}$ は、 条件 $v=0$ (on $\rd\Omega$) を満たす任意の関数とする。 任意の $t\in\mathbb{R}$ に対して $u+tv=g+t\cdot 0=g$ (on $\rd\Omega$). ゆえに $u+tv\in X$ である。仮定より

$$f(t):=J[u+tv]$$   ( $t\in\mathbb{R}$)

は $t=0$ で最小値をとる。

ところが

$$f(t)=J[u]+2t\dint_\Omega(u_xv_x+u_yv_y)\DxDy +t^2\dint_\Omega\left(v_x^2+v_y^2\right)\DxDy$$

は $t$ の2次関数であり、 $t=0$ で最小となるので、1次の係数は 0 である:

$$\dint_\Omega\left(u_xv_x+u_yv_y\right)\DxDy = 0.$$ (6.6)

Green の公式 ( $\dsp\dint_\Omega\Laplacian uv\;\DxDy= \int_{\rd\Omega}\frac{\rd u}{\rd n}v\;\D\sigma -\dint_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\;\DxDy$) より

$$\dint_\Omega\Laplacian u v\;\DxDy=0.$$

これが任意の $v$ について成り立つことから (変分法の基本補題により)

$$\Laplacian u=0$$   (in $\Omega$)$$.\qed$$