4 等角写像, Riemann の写像定理 (工事中)

(この文書は、 2018/6/18 の講義のためのメモ 08-20180618応用複素関数.pdf の主要部分を打ち込んだものである。 次の節と適当にマージする。)

$z\in U$ で交わる滑らかな2曲線 $C_1$, $C_2$ があるとき、 $C_1$ と $C_2$ がなす角は、 $C_1$ と $C_2$ を $f$ で写した2曲線のなす角に等しい。 実際 $t=0$ で $z$ を通る曲線 $\varphi\colon (-\eps,\eps)\to U$ に対して、

$$\left.\frac{\D}{\D t}f(\varphi(t))\right\vert _{t=0} =f'(\varphi(0))\varphi'(0) =f'(z)\varphi'(0)$$

であるから

$$\arg\left.\frac{\D}{\D t}f(\varphi(t))\right\vert _{t=0} =\arg f'(z)+\arg\varphi'(0).$$

接線の方向はつねに

証明. $w=f(z)$ が双正則ならば、 $f^{-1}(f(z))=z$. 両辺を微分して、 $\left(f^{-1}\right)'(w)f'(z)=1$. これから $f'(z)\ne 0$. $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

数学の多くの分野で「同型写像」と呼ばれる写像があるが、 双正則写像は複素関数論における同型写像と言って良いであろう。 $f\colon U\to V$ が双正則であるとき、 複素関数論的には $U$ と $V$ は同じ、ということである。

これは応用上も意味があることで、 例えば $U$ ($V$) における渦無し非圧縮流は、$f$ ($f^{-1}$) によって $V$ ($U$) における渦無し非圧縮流にうつる。 $U$ と $V$ の一方で流れの問題が解ければ、他方でも解けたことになる、等々。

同型写像というものを考えると、標準的なものに移すことが問題になるが、 複素関数論では、次の定理が基礎的である。

記号の紹介     複素平面の原点中心、半径 $1$ の開円盤を $D_1$ で表す: $D_1=D(0;1)=\left\{w\in\mathbb{C}\relmiddle\vert \vert w\vert<1\right\}$.

$\varphi$ のことを $U$ の等角写像、$U$の写像関数と呼ぶことがある。 (要するに、 「$U$ の等角写像」とは、$U$ から $D_1$ への双正則な関数のことである。)

上の定理の仮定のもとで、双正則写像 $\varphi$ は一意的には定まらないが、 次の定理が成り立つ。

条件 (5.1) を正規化条件と呼ぶ。

複素平面 $\mathbb{C}$内の任意の単純閉曲線 (Jordan曲線) $C$ は、 ある有界領域 $U$ を「囲む」が、$U$ は単連結である。 こういう $U$ を Jordan 領域と呼ぶ。 この場合は、 任意の双正則函数 $\varphi\colon U\to D_1$ に対して、 同相写像であるような拡張 $\widetilde{\varphi} \colon \overline{U}\to \overline{D_1}$ が存在することが知られている (Carathéodry の定理)。

その場合は、 ポテンシャル問題を解くことで$\varphi$ が求まることを説明しよう。

$\varphi(z_0)=0$ となる $z_0\in\Omega$ を取ると、 関数 $f(z):=\dfrac{\varphi(z)}{z-z_0}$ は ($z_0$ が除去可能特異点であるので) $U$ で正則である。

$$f(z_0)=\dsp\lim_{z\to z_0}\dfrac{\varphi(z)}{z-z_0}=\varphi'(z_0)\ne 0$$

であることに注意すると、$f(z)\ne 0$. $U$ は単連結であるから、 $\log\frac{\varphi(z)}{z-z_0}$ の一価正則な分枝が存在する。 その実部・虚部を $u$, $v$ としよう:

$$u(z):=\MyRe\log\frac{\varphi(z)}{z-z_0},\quad v(z):=\MyIm\log\frac{\varphi(z)}{z-z_0}.$$

正則関数の実部であることから

$$\Laplacian u=0 U .$$ (4.1)

さらに

$$u(z)=-\log\left\vert z-z_0\right\vert z\in\rd U$$ (4.2)

が成り立つ。実際、$z\in\rd U$ のとき、 $\varphi(z)\in\rd D_1$, すなわち $\left\vert\varphi(z)\right\vert=1$ であるから

$$u(z)=\MyRe\log\frac{\varphi(z)}{z-z_0} =\log\left\vert\frac{\var... ...=\log\frac{1}{\left\vert z-z_0\right\vert} =-\log\left\vert z-z_0\right\vert.$$

すなわち

$$u(z)=-\log\left\vert z-z_0\right\vert z\in\rd U .$$ (4.3)

これはポテンシャル問題であり、解が一意的に存在する。 こうして $u$ が定まるが、 $v$ は $u$ の共役調和関数として定数差を除き定まる。 特に $v(z_0)=0$ を満たすものを選ぶ。

このとき

$$\varphi(z):=(z-z_0)\exp\left[u(z)+i v(z)\right]$$

は $U$から $D_1$への双正則関数である。