5.4 Jordan領域の等角写像を求めるアルゴリズム

典型的な単連結領域に Jordan 領域がある。

Jordan曲線定理

$\mathbb{C}$ 内の Jordan 閉曲線 $C$ に対して、 $C$ の “囲む” 領域 $\Omega$ が定まり、$\Omega$ は有界かつ単連結で、 その境界は $C$ の像に等しい。

この定理で存在が保証される領域を、$C$ の定める Jordan 領域と呼ぶ。 Jordan領域 $\Omega$ は単連結領域であるから、 Riemannの写像定理によって、$\Omega$ の等角写像 $\varphi$ が存在するが、 以下に示すように、 $\varphi$ は、あるポテンシャル問題を解くことによって求めることが出来る。

このとき、 $\varphi\colon\Omega\to D_1$ が双正則写像で、 (5.1) を満たすとしよう。 $\Omega$ の閉包から閉円盤への同相写像 $\widetilde{\varphi}\colon\overline{\Omega}\to\overline{D_1}$ に 拡張できる (Carathéodory の定理)。 以下 $\widetilde{\varphi}$ のことも $\varphi$ と書くことにする。

関数 $\dfrac{\varphi(z)}{z-z_0}$は $\Omega$ で正則であり、 かつ 0 という値を取らない。 $\Omega$ が単連結であるから、 $\log\dfrac{\varphi(z)}{z-z_0}$ の一価正則 な分枝が取れる。 その実部、虚部をそれぞれ $u$, $v$ とおく:

$$u(z)+i v(z):=\log\dfrac{\varphi(z)}{z-z_0}.$$

両辺の実部を取ると、

$$u(z)=\log\frac{\left\vert\varphi(z)\right\vert}{\left\vert z-z_0\right\vert}.$$

$z\in\rd\Omega$ のとき、 $\varphi(z)\in\rd D_1$, すなわち $\left\vert\varphi(z)\right\vert=1$ であるから、

$$u(z)=-\log\left\vert z-z_0\right\vert z\in\rd\Omega .$$ (5.1)

一方

$$\Laplacian u(z)=0 z\in\Omega .$$ (5.2)

(5.3), (B.13) は、 Laplace 方程式の Dirichlet 境界値問題である。 これを解いて $u$を求め、$v$ を $u$ の共役調和関数で、 $v(z_0)=0$ を満たすものとすると、$\varphi$ は次のように求まる。

$$\varphi(z)=(z-z_0)\exp\left[u(z)+i v(z)\right].$$

図 4:

図 5:

図 6:

図 7: