5.5 (細かい話) 多重連結領域の場合

$\Omega$ が単連結でないときは？ $D_1$ は単連結であるから、 $\varphi\colon\Omega\to D_1$ は双正則ではありえない。

$\mathbb{C}$ の領域 $\Omega$は、 $\widehat{\mathbb{C}}\setminus\Omega$ が $n-1$ 個の連結成分から なるとき、$n$重連結領域であるという。 例えば $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ や $\mathbb{C}\setminus\overline{D_1}$ は二重連結、 $\mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ は三重連結である。 (単連結は、1連結に相当して、 補集合 $\widehat{\mathbb{C}}\setminus\Omega$ は1個の連結成分からなる -- つまり連結である。)

$\Omega$ が2重連結領域である場合、 $1$ より小さい $r$ と、 $\Omega$ から円環領域 $A(0;r,1)=\left\{w\in\mathbb{C}\relmiddle\vert r<\vert w\vert<1\right\}$ の上への双正則写像 $\varphi\colon\Omega\to A(0;r,1)$ が存在する。

三重連結以上の場合も、調べられている。