5.3 単連結領域の場合の等角写像の正規化条件

$\Omega$ を $\mathbb{C}$ の単連結領域で、 $\mathbb{C}$ とは異なるものとする。 Riemann の写像定理により、$\Omega$ の等角写像

$$\varphi\colon\Omega\to D_1=D(0;1)$$

が存在する。この写像は一意的には定まらないが、次が成り立つ。

証明. $\varphi_1$, $\varphi_2$ がその条件を満たすとする。 $\psi:=\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}$ とおくと、 $\psi\colon D_1\to D_1$ は双正則写像である。 そして、

$$\psi(0)=\varphi_2\left(\varphi_1^{-1}(0)\right) =\varphi_2(z_0)=0$$

であるから、

$$(\exists\eps\in\mathbb{C}: \left\vert\eps\right\vert=1) (\forall z\in D_1) \quad \psi(z)=\eps\frac{z-0}{1-\overline{0}z}=\eps z.$$

ところが、

$$\eps=\psi'(0)=\varphi_2'(z_0)\frac{1}{\varphi_1'(z_0)}>0.$$

であるから、$\eps=1$. ゆえに $\psi(z)=z$. ゆえに $\varphi_2=\varphi_1$. $\qedsymbol$ $\qedsymbol$