5.2 Riemannの写像定理

(講義でそれなりに説明するつもり…その要点をこちらに写したい)

$ U$, $ V$ $ \mathbb{C}$ の領域とする。 $ \varphi\colon U\to V$双正則であるとは、 $ \varphi$ が正則でかつ全単射で、 $ \varphi^{-1}$も正則であることをいう。

$ \Omega$ $ \mathbb{C}$ の単連結領域で、 $ \mathbb{C}$ とは異なるものとするとき、 双正則写像

$\displaystyle \varphi\colon\Omega\to D_1=D(0;1)
$

が存在する (Riemann の写像定理, 1851年)。

この $ \varphi$のことを領域 $ \Omega$等角写像, あるいは写像関数と呼ぶ 6

問題となる領域の等角写像はしばしば役に立つ。 そのため、その計算方法は重要視され、古くから研究されてきた。 多角形領域の場合の Schwarz-Christoffel mapping などは、 時間の関係で、「複素関数」、「応用複素関数」ではスルーしているが、 複素関数論の定番のメニューと言える。



桂田 祐史