5.2 Riemannの写像定理

(講義でそれなりに説明するつもり…その要点をこちらに写したい)

$U$, $V$ を $\mathbb{C}$ の領域とする。 $\varphi\colon U\to V$ が双正則であるとは、 $\varphi$ が正則でかつ全単射で、 $\varphi^{-1}$も正則であることをいう。

$\Omega$ を $\mathbb{C}$ の単連結領域で、 $\mathbb{C}$ とは異なるものとするとき、 双正則写像

$$\varphi\colon\Omega\to D_1=D(0;1)$$

が存在する (Riemann の写像定理, 1851年)。

この $\varphi$のことを領域 $\Omega$ の等角写像, あるいは写像関数と呼ぶ ⁶。

問題となる領域の等角写像はしばしば役に立つ。 そのため、その計算方法は重要視され、古くから研究されてきた。 多角形領域の場合の Schwarz-Christoffel mapping などは、 時間の関係で、「複素関数」、「応用複素関数」ではスルーしているが、 複素関数論の定番のメニューと言える。