5.1 はじめに

関数論には、領域の等角写像 (写像関数) という重要な概念がある。 与えられた領域 $\Omega$ に対して、 円盤領域のような簡単な標準領域 $D$ に双正則に写す正則な関数 $\Phi\colon \Omega\to D$ が存在するとき、 $\Phi$ を $\Omega$ の等角写像、あるいは写像関数と呼ぶ。

ここで $\Phi\colon \Omega\to D$ が双正則であるとは、 正則であり、逆関数が存在し、逆関数 $\Phi^{-1}\colon D\to\Omega$ も 正則であることをいう。

「 $\mathbb{C}$内の単連結領域 $\Omega$ で、 $\mathbb{C}$ とは異なるものに対して、 $\Omega$ の写像関数 $\Phi$ が存在する」という Riemann の写像定理を紹介する。

特に $\Omega$ が Jordan 閉曲線で囲まれた領域の場合に、 $\Phi$ はあるポテンシャル問題の解を使って表せることを紹介する。 ポテンシャル問題の数値解法と合わせると。 写像関数の数値計算法が得られる。