B..6 代用電荷法による近似等角写像

$\Omega$ は、 複素平面内の滑らかな Jordan 曲線 $\Gamma$ で囲まれた Jordan 領域とする。 任意に選んだ $z_0\in\Omega$ に対して、 Riemann の写像定理により、 $\Omega$ を単位円板領域 $D_1:=\left\{w\in\mathbb{C}\relmiddle\vert \left\vert w\right\vert<1 \right\}$ の上に写す等角写像 $\varphi\colon\Omega\to D_1$ で、

$$\varphi(z_0)=0,\quad \varphi'(z_0)>0$$ (B.20)

を満たすものが一意的に存在する。 (5.1) は正規化条件と呼ばれる。

$\varphi$ は、 $\overline\Omega$ から $\overline{D_1}$ の上への同相写像に拡張される (Carathéodory の定理)。

関数 $\dfrac{\varphi(z)}{z-z_0}$ (ただし $z=z_0$ では $\varphi'(z_0)$ という値を取ると考える) は $\overline{\Omega}$ 上の関数として定義されて、 $\Omega$ で正則であり、0 にはならない。$\Omega$ は単連結であるから、 正則関数 $f\colon\Omega\to D_1$ が存在して、

$$\frac{\varphi(z)}{z-z_0}=\exp f(z)$$   $$\mbox{($z\in D_1$)}$$$$.$$

すなわち

$$\varphi(z)=\left(z-z_0\right)\exp f(z)$$   $$\mbox{($z\in D_1$)}$$$$.$$

$u:=\MyRe f$, $v:=\MyIm f$ とおく。 $f=u+i v$ が成り立つ。

$z\in\rd\Omega$ に対して、 $f(z)\in\rd D_1$ であるから、

$$1=\left\vert\varphi(z)\right\vert =\left\vert\left(z-z_0\right)\... ...ft\vert z-z_0\right\vert\exp\MyRe f(z) =\left\vert z-z_0\right\vert\exp u(z).$$

ゆえに ($\log$ を実関数としての対数関数として)

$$u(z)=\log\frac{1}{\left\vert z-z_0\right\vert}=-\log\left\vert z-z_0\right\vert.$$

以上より、$u$ は Laplace 方程式の Dirichlet 境界値問題

$$\Laplacian u=0 \Omega ,\quad u(z)=-\log\left\vert z-z_0\right\vert z\in\rd\Omega$$ (B.21)

の解であることが分かるので、一意的に決定される。 $v$ は $u$ の共役調和関数であることから、 例えば $z_0$ での値 $v(z_0)$ を定めれば良いが、 正規化条件 (5.1) のうちの第2の条件から $v(z_0) \equiv 0\pmod{2\pi}$ が導かれる ( $\exp u(z_0)>0$ に注意すると、 $\varphi'(z_0)=\exp u(z_0) \exp\left(i v(z_0)\right)$ が正であるためには、 $\exp\left(i v(z_0)\right)=1$)。 $v$ について $2\pi$ の整数倍の違いは、 $\varphi$ の値に違いをもたらさないことに注意すると、 これで $\varphi$ が決定されることになる。 そこで $\varphi$ を得るには

$$v(z_0)=0$$ (B.22)

としておけば良い。